Nociones de mecánica (I). Vectores y magnitudes vectoriales.

De cara a que se comprendan mejor algunas entradas de este blog, estoy preparando una sección de nociones de mecánica. La idea es ir construyendo, poco a poco, una base teórica lo más sólida posible de los contenidos del blog. Más adelante formularé unas recomendaciones acerca de cómo leer estas entradas de carácter más teórico y abstracto.

En mecánica se trabaja con magnitudes. Una magnitud es una cualidad de la realidad física. Tiempo, posición en el espacio, masa, momento de inercia, velocidad lineal, velocidad angular, aceleración lineal, aceleración angular, momento lineal, impulso lineal, momento angular, impulso angular, fuerza lineal, fuerza de torsión (torque), trabajo, energía y potencia son magnitudes.

Las magnitudes se designan mediante letras. A la masa se le designa con la letra m, a la energía con la letra E. Existen dos grandes clases de magnitudes: las magnitudes escalares y las vectoriales. Las magnitudes vectoriales son aquellas que tienen origen o punto de aplicación, dirección y sentido en el espacio. Por ejemplo la fuerza opera siempre en una dirección. Por ejemplo, en el caso de la fuerza gravitatoria, opera sobre todas y cada una de las partículas de un objeto, verticalmente y hacia abajo.

En cambio, las magnitudes escalares carecen de origen, dirección y sentido. Es el caso del tiempo, de la masa, del momento de inercia, el trabajo, la energía y la potencia. El tiempo no es una magnitud vectorial porque opera independientemente de la posición en el espacio y de la variación de ésta, al menos así sucede en mecánica la clásica, que estuvo vigente desde la formulación de las leyes de Newton hasta la formulación de la teoría de la relatividad restringida de Einstein. También la masa es independiente del espacio y, por tanto, se trata de una magnitud escalar. Ciertas magnitudes que resultan del producto de dos vectores pueden ser escalares, como es el caso del trabajo, la energía y la potencia. En este caso hablamos de producto escalar de dos vectores. De hecho la potencia (P) resulta por dos posibles productos: un producto escalar de los vectores de fuerza y velocidad (P= Fv=vF) y un producto de dos escalares como son el trabajo (W) y la frecuencia (1/t) con que éste tiene lugar (P=W/t).

Como se ha visto, las magnitudes escalares se simbolizan con una letra. Las vectoriales se simbolizan con una letra en negrilla (o con una flecha sobre la misma).

Para determinar si las magnitudes enumeradas en el primer párrafo son escalares o vectoriales basta saber que masa, tiempo y frecuencia son escalares. Posición y ángulo son vectoriales. Cualquier magnitud que resulta de multiplicar un vector por un escalar es vectorial. Por otra parte existen magnitudes vectoriales que resultan del producto de vectores. En este caso hablamos de producto vectorial de dos vectores. Por ejemplo, el producto del vector posición por el vector fuerza nos da como resultado el vector momento de fuerza o fuerza de torsión (torque). De hecho, el torque responde a las dos siguientes fórmulas τ = r F ó  τ = I α. En el primer caso se trata del producto de dos vectores y en el segundo de un vector por un escalar. El producto de un vector por un escalar siempre es un vector. Lo mismo ocurre con el momento angular que responde a las fórmular L = m r v ó L= I ω. La primera es el producto de un escalar por un producto vectorial y la segunda el producto de un escalar por un vector. Por tanto, el momento angular es también una magnitud vectorial. Por último, trabajo, potencia y energía son magnitudes que resultan de multiplicar dos vectores en lo que se denomina producto escalar de vectores, cuyo resultado es un escalar.

A continuación se formula una tabla con las magnitudes, distinguiendo si son vectoriales o escalares e indicando la unidad del sistema internacional que se emplea para cuantificarlas.

Magnitud (símbolo)	Clase	Unidad (Sistema internacional)
Masa (m)	Escalar	kilogramo (kg)
Momento de inercia (I)	Escalar	kilogramo metro cuadrado (kg m²)
Tiempo (t)	Escalar	segundo (s)
Frecuencia (f)	Escalar	1/segundo (1/s ó s⁻¹)
Posición lineal (r)	Vectorial	metro (m)
Posición angular (θ)	Vectorial	radián *
Velocidad lineal (v)	Vectorial	metro por segundo (m/s)
Velocidad angular (ω)	Vectorial	radián por segundo (s⁻¹)
Aceleración lineal (a)	Vectorial	metro por segundo al cuadrado (m s⁻² ó m/s²)
Aceleración angular (α)	Vectorial	Radián por segundo al cuadrado (s⁻² ó 1/s)
Momento lineal (p)	Vectorial	kilogramo metro por segundo (kg m/s ó kg m s⁻¹)
Momento angular (L)	Vectorial	kilogramo metro cuadrado por segundo (kg m² s⁻¹)
Fuerza lineal (F)	Vectorial	Newton (N)
Fuerza de torsión(τ)	Vectorial	Newton metro (N m)
Trabajo (W)	Escalar	Julio (J)
Energía (E)	Escalar	Julio (J)
Potencia (P)	Escalar	Watio (W)

*para operar con radianes, por convención para simplificar el cálculo, no se utiliza símbolo alguno.

Fuerza, velocidad y aceleración lineales son vectores habitualmente representados en imágenes de corredores donde se representan las fuerzas en la carrera. Los vectores de una misma magnitud pueden sumarse para dar lugar a una resultante.

Un vector es un segmento que representa una magnitud y que consta de dirección y sentido.

Los elementos y características de un vector son:

Elementos.

1. Origen: punto de aplicación de un vector, o lugar en el espacio donde se origina la magnitud.
2. Extremo: lugar al que se dirige la acción de la magnitud. Se representa como una flecha en dicho extremo.

Características.

1. Módulo: intensidad con que se da la magnitud representada por el vector. Cuando una misma magnitud es representada en una misma imagen por varios vectores, su longitud será proporcional a su módulo.
2. Dirección: es la inclinación o pendiente de un vector.
3. Sentido: lugar hacia el que apunta o se dirige la acción del vector.

A continuación vemos gráficamente cómo se suman dos vectores.

Si sumamos el vector A y B (de color negro y azul, respectivamente) se pueden utilizar dos métodos gráficos: uno consiste en colocar el origen de B en el extremo (o flecha) de A; el otro consiste en trazar un paralelogramo que tenga los lados equivalentes a los dos vectores. Como se ve, el vector resultante R, en rojo, es de la misma longitud, dirección y sentido.

Por otra parte, cuando se suman tres vectores, A, B y C, el primer método se puede utilizar del mismo modo que aparece en la imagen. El método del paralelogramo se puede utilizar sumando primero A y B y luego a la resultante R sumarle el vector C. La suma de vectores es conmutativa.

A+B= B+A

y con tres vectores

A+B+C=A+C+B=B+A+C=B+C+A=C+A+B=C+B+A

En la suma de vectores también se cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C)=(A+B)+C

A+(C+B)=(A+C)+B

B+(A+C)=(B+A)+C

B+(C+A)=(B+C)+A

C+(A+B)=(C+A)+B

C+(B+A)=(C+B)+A